Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ R olmak üzere x < y ve m < n için x + m < y + n olup olmadığını

Soru : Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ R olmak üzere x < y ve m < n için x + m < y + n olup olmadığını cebirsel olarak ispatlayınız Kısa Cevap: Evet, x + m < y + n eşitsizliği doğrudur. Çünkü toplama işlemi sıralamayı korur ve geçişlilik özelliği geçerlidir. Ayrıntılı Cebirsel İspat: Verilen eşitsizlikler: x < y ve m < n Birinci eşitsizliğin her iki tarafına m ekleyelim: x < y ⇒ x + m < y + m İkinci eşitsizliğin her iki tarafına y ekleyelim: m < n ⇒ y + m < y + n Geçişlilik özelliğini kullanalım: x + m < y + m < y + n Buradan sonuç olarak x + m < y + n elde edilir. Matematiksel Yorum: Toplama işlemi, gerçek sayılar kümesinde sıralamayı koruyan bir işlemdir. Bu yüzden iki farklı eşitsizlik (x < y ve m < n) toplandığında sonuç doğru olur. Bu özellik, R (gerçek sayılar) kümesinin tam sıralı küme olmasından kaynaklanır. Genelleme: Eğer x ≤ y ve m ≤ n ise o zaman da x + m ≤ y + n olur. Eşitlik durumunda toplamda da eşitlik korunur. Görsel Düşünme: Bir sayı doğrusu üzerinde düşünürsek, x noktası y’den soldadır, m noktası n’den soldadır. Her iki noktayı da aynı oranda sağa kaydırmak (toplama yapmak) sıralamayı değiştirmez. Yani x + m hâlâ y + n’den soldadır. Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/gercek-sayilarda-siralama-ozellikleri-yardimiyla-x-y-m-ve-n-r-olmak-uzere-x-y-4830h