11. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 210 Cevapları (MEB Yayınları)

3. Tema 210 Görseldeki 15 metre yarıçap uzunluğuna sahip dönme dolap, pozitif yön­ de dönmektedir. Dönme dolabın 1 numaralı kabininin bağlantı noktası­ nın yerden yüksekliği zamana bağlı olarak değişmektedir. Geçen zaman saniye cinsinden t dir. Kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği ise metre cinsinden r ( ) cos f t t 15 30 16 $ = - + a k şeklinde tanımlı trigonomet­ rik fonksiyonu ile modellenmektedir. Buna göre f trigonometrik fonksiyonunun nitel özelliklerini bulunuz. Fonksiyonun tanım kümesi [ , ) 0 3 olur. cost 1 1 # # - olduğu için dönme dolabın 1 numaralı kabini­ nin bağlantı noktası yerden en az 15 1 16 1 $ - + = metre, en çok ( ) 15 1 16 31 $ - - + = metre yüksek­ liğe ulaşabilir. Fonksiyonun görüntü kümesi [1,31] olur. Fonksiyonun grafiği aşağıda verilmiştir. 1 2 Yer 8 7 3 4 6 5

8. Örnek Çözüm ( ) ( ) ( , , , , ) , cos f x k ax b m k a b m a k 0 0 R $ d ! ! = + + şeklinde tanımlı trigonometrik fonksiyonun periyodu r T a 2 = şeklinde hesaplanır. f foksiyonun periyodu r r T 30 2 60 = = olur. Dönme dolabın kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği daima pozitif olacağı için fonksiyonun işareti de daima pozitiftir. Kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği 0 ile 30. saniyeler arasında artmakta, 30 ile 60. saniyeler arasında azalmaktadır. Bu sebeple fonksiyon , [ ] 0 30 nda artan, , [ ] 30 60 nda azalan olur. Genelleştirilir­ se k 0 $ tam sayı olmak üzere , [ ] k k 60 60 30 + nda fonksiyon artan, , [ ] k k 60 30 60 60 + + nda fonksi­ yon azalan olur. Kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği 30. saniyede en yüksek değerine ulaşır. Fonksiyon peri­ yodik olduğu için k 0 $ tam sayı olmak üzere x k 60 30 = + için fonksiyon maksimum değerine ulaşır. Kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği 0. saniyede en düşük değerindedir. Fonksiyon periyodik olduğu için k 0 $ tam sayı olmak üzere x k 60 = için fonksiyon minimum değerindedir. Kabinin bağlantı noktasının yerden yüksekliği hiçbir zaman sıfır olamaz. Dolayısıyla fonksiyonun sıfırı yoktur. Kabinin bağlantı noktası aynı yüksekliğe farklı zamanlarda ulaşabilmektedir. Bu yüzden fonksiyon bire bir değildir. Kabinin bağlantı noktası, 1 ile 31 metre arasındaki her yüksekliğe ulaşabilmektedir. Bu yüzden :[ , ) [ , ] f 0 1 31 " 3 şeklinde tanımlı f fonksiyonu örtendir. Fonksiyon sadece k 0 $ için tanımlı olduğundan tek ya da çift fonksiyon değildir. 30 60 90 120 10 20 30 40 0 (30,31) (60,1) r ( ) cos f t t 15 30 16 = - + a k