İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.

Soru : İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz. Ödev cevabı kısaca : İrrasyonel sayılar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, iki irrasyonel sayı olan √2 ve √2'yi böldüğümüzde sonuç 1 olur, bu ise rasyonel bir sayıdır. Bu yüzden irrasyonel sayılar bölme işleminde her zaman irrasyonel sonuç vermez. İrrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Bunu göstermek için bir karşıt örnek kullanabiliriz. √3 ve √12 irrasyonel sayılar olsun. Bu iki sayıyı birbirine bölelim: √12 ÷ √3 = √(12/3) = √4 = 2 Sonuç 2 , yani bir rasyonel sayı dır. Bu durumda irrasyonel ÷ irrasyonel = rasyonel olabildiği için irrasyonel sayılar kümesi bölmeye göre kapalı değildir. Matematiksel Gösterim: √3, √12 ∈ Q′ √12 ÷ √3 = 2 ∉ Q′ Dolayısıyla, a, b ∈ Q′ için (a ÷ b) ∉ Q′ olabilir. Bu yüzden Q′ kümesi (irrasyonel sayılar kümesi) bölme işlemine göre kapalı değildir. Kısa Bilgi: Bir küme kapalı olsaydı, o kümedeki herhangi iki elemanın bölümü yine aynı kümede olmalıydı. Ancak burada sonucu irrasyonel olmayan bir sayı (2) elde ettik, bu nedenle kapalılık bozuldu. Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/irrasyonel-sayilar-kumesinin-bolme-islemine-gore-kapali-olup-olmadigini-4833h