Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri

9. Sınıf Matematik Ders Kitabı MEB Yayınları Sayfa 120–123 Cevapları Konu: Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri 9. Sınıf MEB Matematik 1. Kitap – Sayfa 120-121 Cevapları Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1. Aşağıdaki görselde deniz seviyesinin altında ve üstünde yer alan A, B, C, D, E noktaları ile deniz seviyesine dik olarak modellenen bir k doğrusu verilmiştir. A noktası: -2 → |A| = 2 B noktası: -1 → |B| = 1 C noktası: 0 → |C| = 0 D noktası: 3 → |D| = 3 E noktası: 5 → |E| = 5 Her noktanın mutlak değeri, deniz seviyesinden olan uzaklığını ifade etmektedir. a) Görselde verilen noktaların k doğrusunda karşılık geldiği sayı değerleri ile deniz seviyesine olan uzaklıklarını gösteren tabloyu doldurunuz. Nokta A B C D E Noktanın Konumunun k Doğrusunda Karşılık Geldiği Sayı -2 -3/2 4/5 3 5 Noktanın Deniz Seviyesine Olan Uzaklığı (birim) 2 3/2 4/5 3 5 b) Noktanın konumunun k doğrusundaki karşılığı bağımsız değişken, aynı noktanın deniz seviyesine olan mesafesi bağımlı değişken olsun. Tablo 1’deki değerlerden yararlanarak k doğrusu üzerinde alınan herhangi bir x değerine karşılık gelen bağımlı değişkenin cebirsel ifadesini yazınız. Cevap: Bağımsız değişken x , bağımlı değişken |x| olduğuna göre fonksiyon g(x) = |x| olur. c) Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki bu ilişkiyi gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olarak ifade ediniz. Cevap: Fonksiyon gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır. g : R → [0, ∞) , g(x) = |x| ç) Grafik 1 ve elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak gerçek sayılarda g(x) = |x| şeklinde tanımlı fonksiyonun grafiğini çiziniz. Cevap: Fonksiyonun grafiği “V” şeklindedir. x < 0 iken y = -x , x ≥ 0 iken y = x olur. Tepe noktası (0, 0)’dır. 2. Oluşturduğunuz g fonksiyonuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz. Cevap: Bağımsız değişken x = 0 olduğunda, g(x) = 0’dır. Eğer x ≥ 0 ise g(x) = x, bu durumda bağımlı değişken pozitiftir. Eğer x < 0 ise g(x) = -x, bu durumda bağımlı değişken yine pozitiftir. b) Bağımsız değişkenin hangi aralıktaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu bulunuz. Cevap: Mutlak değer her zaman sıfır veya pozitif olur. Hiçbir zaman negatif olmaz. Her x için |x| ≥ 0’dır. c) Bağımlı değişkenin alabileceği en büyük veya en küçük değerin kaç olduğunu bulunuz. Cevap: En küçük değer: 0 En büyük değer: Yoktur (g(x) → +∞) Bağımlı değişkenin alabileceği en küçük değer 0'dır. Ancak bağımlı değişkenin en büyük değeri yoktur, çünkü g(x) = |x| fonksiyonunda üst sınır bulunmamaktadır. ç) Bağımsız değişkenin aldığı değerler artarken g fonksiyonunun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirleyiniz. Cevap: Fonksiyonun davranışı şöyledir: x < 0 iken g(x) azalan, x > 0 iken g(x) artandır. Tepe noktası (0, 0) ’dır. Eğer x >= 0 ise, bağımsız değişken x arttığında g(x) de artar. Eğer x < 0 ise, bağımsız değişken x arttığında (yani sıfıra yaklaştığında) g(x) azalır. d) Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için g fonksiyonunun aldığı değerlerin birbirinden farklı olup olmadığını inceleyiniz. Bu durumun bağımsız değişkenin alabileceği tüm değerler için geçerli olup olmadığını açıklayınız. Cevap: x = 2 ve x = -2 için g(x) = |x| = 2’dir. Yani iki farklı x değeri için aynı y değeri bulunur. Bu nedenle g(x) bire bir değildir. 9. Sınıf MEB Matematik 1. Kitap – Sayfa 122 Cevapları e) f ve g fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz. Benzerlikler: Her ikisinin de tanım kümesi R ’dir; her ikisi de (0,0) noktasından geçer ve y-eksenine göre simetrik değildir. Farklılıklar: f(x)=x doğru denklemdir, her yerde artandır ve görüntü kümesi R ’dir. g(x)=|x| “ V ” şeklindedir, x<0’da azalan, x>0’da artandır ve görüntü kümesi [0,∞) ’dir. f) Gözlemlerinizden yola çıkarak g fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit ediniz ve Tablo 2’yi doldurunuz. Tablo 2 – Fonksiyonların nitel özellikleri Fonksiyonun Nitel Özellikleri f(x) = x g(x) = |x| En geniş tanım kümesi ℝ ℝ Görüntü kümesi ℝ <0, 0="0" 1="1" 3="3" 123="123" ∞) Fonksiyonun="∞) Fonksiyonun" sıfırı x="sıfırı x" ="" 0 x="0 x" 0 Fonksiyonun="0 Fonksiyonun" işareti x="işareti x" <="<" →="→" negatif,="negatif," x="x" >=">" pozitif x="pozitif x" ≠="≠" pozitif,="pozitif," 0 Maksimum="0 Maksimum" noktası Yok Yok Minimum="noktası Yok Yok Minimum" noktası Yok (0,="noktası Yok (0," 0)="0)" —="—" en="en" küçük="küçük" değer="değer" 0 Bire="0 Bire" birliği Bire="birliği Bire" bir Bire="bir Bire" bir="bir" değil Artan="değil Artan" /="/" Azalan="Azalan" aralıklar (-∞,="aralıklar (-∞," ∞)="∞)" artan (-∞,="artan (-∞," azalan;="azalan;" (0,="(0," artan g)="artan g)" Elde="Elde" ettiğiniz="ettiğiniz" nitel="nitel" özelliklerden="özelliklerden" yararlanarak="yararlanarak" g="g" mutlak="mutlak" fonksiyonunun="fonksiyonunun" parçalı="parçalı" gösterimine="gösterimine" dair="dair" çıkarımlarınızı="çıkarımlarınızı" açıklayınız. Cevap: Mutlak="açıklayınız. Cevap: Mutlak" değer,="değer," sayının="sayının" 0’a="0’a" uzaklığıdır.="uzaklığıdır." Bu="Bu" nedenle g(x)="|x|" {="{" (x≥0),="(x≥0)," -x="-x" (x<0)="(x<0)" } yani parçalı="} yani parçalı" fonksiyon olarak="fonksiyon olarak" yazılır;="yazılır;" bu="bu" da="da" grafiğin V şeklinde="grafiğin V şeklinde" olmasını="olmasını" açıklar. 3.="açıklar. 3." g:="g:" R="R" R,="R," g(x)="|x|" şeklinde="şeklinde" tanımlı="tanımlı" fonksiyonda="fonksiyonda" değerin="değerin" katsayısı="katsayısı" değiştirilerek="değiştirilerek" gerçek="gerçek" sayılarda="sayılarda" h(x)="−|x|" fonksiyonu="fonksiyonu" oluşturuluyor.="oluşturuluyor." h="h" fonksiyonuna="fonksiyonuna" göre: a)="göre: a)" Bağımsız="Bağımsız" değişkenin="değişkenin" hangi="hangi" değeri="değeri" için="için" bağımlı="bağımlı" sıfıra="sıfıra" eşit="eşit" olduğunu="olduğunu" bulunuz. Cevap: x="0 için h(0)=0 (tek" kök 0 ). b)="kök 0 ). b)" aralıktaki="aralıktaki" değerleri="değerleri" aldığı="aldığı" değerlerin="değerlerin" negatif="negatif" veya="veya" pozitif="pozitif" bulunuz. Cevap: x≠0="bulunuz. Cevap: x≠0" iken="iken" h(x)<0 , hiçbir="h(x)<0 , hiçbir" zaman="zaman" olmaz ;="olmaz ;" yalnız x="0 ’da 0 ’dır. c)" Bağımlı="Bağımlı" alabileceği="alabileceği" büyük="büyük" kaç="kaç" bulunuz. Cevap: Maksimum="bulunuz. Cevap: Maksimum" 0 (x="0’da). Minimum" yok ; (-∞) ’ye="yok ; (-∞) ’ye" iner. ç)="iner. ç)" değerler="değerler" artarken="artarken" nasıl="nasıl" değiştiğini="değiştiğini" belirleyiniz. Cevap: x<0 aralığında h(x)="x olduğundan artan ; x>0 aralığında h(x)=-x olduğundan azalan ." Tepe (0,0) . d)="Tepe (0,0) . d)" iki="iki" farklı="farklı" birbirinden="birbirinden" mıdır?="mıdır?" durumun="durumun" bağımsız="bağımsız" tüm="tüm" geçerli="geçerli" olup="olup" olmadığını="olmadığını" açıklayınız. Cevap: Hayır. Örneğin x="2 ve x=-2 için h(x)=-2 elde" edilir.="edilir." Yani="Yani" aynı="aynı" y’yi="y’yi" verebilir;="verebilir;" bu tüm="bu tüm" x değerleri="x değerleri" durumdur.="durumdur." nedenle h(x)="nedenle h(x)" bire="bire" değildir . 9.="değildir . 9." Sınıf="Sınıf" Matematik="Matematik" Ders="Ders" Kitabı="Kitabı" Sayfa="Sayfa" Cevapları="Cevapları" (MEB="(MEB" Yayınları) Gerçek="Yayınları) Gerçek" Sayılarda="Sayılarda" Tanımlı="Tanımlı" Mutlak="Mutlak" Değer="Değer" Fonksiyonları="Fonksiyonları" ve="ve" Nitel="Nitel" Özellikleri e) Grafik="Özellikleri e) Grafik" elde="elde" sonuçlardan="sonuçlardan" sayılarda h(x)="sayılarda h(x)" −|x| şeklinde="−|x| şeklinde" grafiğini="grafiğini" Grafik="Grafik" üzerinde="üzerinde" gösteriniz. Cevap: Grafik, y="gösteriniz. Cevap: Grafik, y" −|x| şeklindedir.="−|x| şeklindedir." fonksiyon V="fonksiyon V" şeklinde ,="şeklinde ," ancak aşağıya="ancak aşağıya" doğru="doğru" açılmıştır. Tepe="açılmıştır. Tepe" noktası (0,="noktası (0," 0) olup,="0) olup," fonksiyonun="fonksiyonun" değerleri negatif="değerleri negatif" sıfırdır. f) f="sıfırdır. f) f" fonksiyonlarının="fonksiyonlarının" cebirsel="cebirsel" grafiksel="grafiksel" benzerliklerini,="benzerliklerini," farklılıklarını="farklılıklarını" gözlemleyiniz. Cevap: Benzerlikler: Her="gözlemleyiniz. Cevap: Benzerlikler: Her" ikisi="ikisi" de tanım="de tanım" kümesi="kümesi" R olan="R olan" doğrusal="doğrusal" türde="türde" fonksiyonlardır.="fonksiyonlardır." Her="Her" de (0,="de (0," 0) noktasından="0) noktasından" geçer. Farklılıklar: f(x)="geçer. Farklılıklar: f(x)" x doğrudan="x doğrudan" artan="artan" doğrudur. h(x)="doğrudur. h(x)" −|x| fonksiyonu="−|x| fonksiyonu" ise="ise" değerin negatif="değerin negatif" katsayılı hâlidir;="katsayılı hâlidir;" yüzden tepe="yüzden tepe" noktası="noktası" 0) olup aşağıya="0) olup aşağıya" açılan="açılan" V="V" şeklindedir. g) Gözlemlerinizden="şeklindedir. g) Gözlemlerinizden" yola="yola" çıkarak="çıkarak" özelliklerini="özelliklerini" tespit="tespit" ediniz="ediniz" Tablo="Tablo" 3’ü="3’ü" doldurunuz. Tablo="doldurunuz. Tablo" –="–" Fonksiyonların="Fonksiyonların" Özellikleri Fonksiyonun="Özellikleri Fonksiyonun" Özellikleri f(x)="Özellikleri f(x)" x h(x)="x h(x)" −|x| En="−|x| En" geniş="geniş" tanım="tanım" kümesi ℝ ℝ Görüntü="kümesi ℝ ℝ Görüntü" kümesi ℝ (−∞,="kümesi ℝ (−∞,"> Fonksiyonun sıfırı x = 0 x = 0 Fonksiyonun işareti x < 0 → negatif, x > 0 → pozitif x ≠ 0 → negatif; x = 0 → 0 Maksimum noktası Yok (0, 0) Minimum noktası Yok Yok Bire birliği Bire bir Bire bir değil Artan / Azalan aralıklar (−∞, ∞) artan (−∞, 0) artan; (0, ∞) azalan ğ) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak h mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız. Cevap: Fonksiyonun tanımı parçalı biçimde yazılır: h(x) = −|x| = { −x (x ≥ 0), x (x < 0) } Bu gösterim, grafiğin aşağıya doğru açılan V şeklinde olmasını açıklar. Özet: f(x) = x → her yerde artan doğru fonksiyonudur. g(x) = |x| → yukarı yönlü V grafiğidir. h(x) = −|x| → aşağı yönlü V grafiğidir. Hepsi tanım kümesi R ’de tanımlıdır ancak görüntü kümeleri farklıdır. Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/9-sinif-matematik-1-ders-kitabi-sayfa-120-123-cevaplari-meb-yayinlari-13505h