22. Uygulama - Sinüs Teoreminin Üçgen Çeşitlerine Uygulanması

21. Uygulama – Ek Çizimler Yardımıyla Uzunluk Bulma ve Sinüs Teoremi Soru 1 Bir arsada, A–B–C noktalarıyla oluşturulan üçgenin kenar uzunluklarını bulmak için optik yöntem kullanılmaktadır. A açısı 64°, C açısı 37°, AB kenarı 200 metredir. Soru: Bu bilgilerle B ve C noktaları arasına çekilecek şeridin uzunluğu bulunabilir mi? Cevap: Evet, bulunabilir. Üçgene A noktasından BC kenarına dikme indirilerek yüksekliği h buluruz: sin 64° = h / 200 h = 200 × 0.9 = 180 m Daha sonra sin 37° = h / x bağıntısından x = 180 / 0.6 = 300 m Sonuç: BC kenarı 300 metredir. Soru 2 Soru: Bu problemi Sinüs Teoremi kullanarak çözünüz. Cevap: Sinüs teoremi formülü: a / sin A = b / sin B = c / sin C Bu üçgene göre: x / sin 64° = 200 / sin 37° x = 200 × sin 64° / sin 37° x = 200 × 0.9 / 0.6 = 300 m Sonuç: Sinüs teoremiyle de BC uzunluğu 300 metre olarak bulunur. Soru 3 Soru: Çocuk parkı inşaatı için B ve C noktaları arasına çekilecek şeridin uzunluğu kaç metredir? Cevap: Yukarıdaki hesaplamalara göre B ve C noktaları arasındaki mesafe 300 metredir. 22. Uygulama – Sinüs Teoreminin Üçgen Çeşitlerine Uygulanması 1. Soru Verilen: KLM dik üçgeninde m(∠MKL) = 90°, m(∠KML) = 37°, |LM| = 10 birimdir. (sin 37° ≈ 0.6, sin 53° ≈ 0.8) a) Trigonometrik oranlarla KL ve KM kenar uzunluklarını bulunuz. sin 37° = KL / 10 → 0.6 = KL / 10 → KL = 6 birim sin 53° = KM / 10 → 0.8 = KM / 10 → KM = 8 birim b) Sinüs teoremini kullanarak KL ve KM uzunluklarını bulunuz. x / sin 37° = 10 / sin 90° → x / 0.6 = 10 / 1 → x = 6 birim y / sin 53° = 10 / sin 90° → y / 0.8 = 10 / 1 → y = 8 birim ???? Sonuç: Üçgende KL = 6 birim , KM = 8 birim bulunur. 2. Soru Verilen: PNR üçgeninde m(∠NPR) = m(∠NRP) = 30°, |PR| = 8√3 birimdir. a) Ek çizim yaparak PN kenarını bulunuz. Bu üçgen bir ikizkenar üçgendir . Tepe noktasından dik inildiğinde iki eş dik üçgen oluşur. Her biri 30°–60°–90° üçgenidir. Bu üçgenlerde kısa kenar × √3 = uzun kenar bağıntısından: PN = 8√3 / √3 = 8 birim b) Sinüs teoremiyle PN kenarını bulunuz. x / sin 30° = 8√3 / sin 120° x / 0.5 = 8√3 / 0.87 → x ≈ 8 birim Sonuç: Her iki yöntemle de PN = 8 birim bulunur. 3. Soru Verilen: ABC üçgeninde m(∠ABC) = 48°, m(∠ACB) = 58°, |BC| = 48 birimdir. (sin 48° ≈ 0.74, sin 58° ≈ 0.84, sin 74° ≈ 0.96) a) Ek çizimle AB ve AC kenar uzunluklarını bulunuz. sin 58° = h / 48 → h = 48 × 0.84 = 40.32 sin 74° = h / AB → 0.96 = 40.32 / AB → AB = 42 birim sin 48° = h / AC → 0.74 = 40.32 / AC → AC = 54 birim b) Sinüs teoremiyle AB ve AC kenar uzunluklarını bulunuz. AB / sin 58° = 48 / sin 74° AB = (48 × 0.84) / 0.96 = 42 birim AC / sin 48° = 48 / sin 74° AC = (48 × 0.74) / 0.96 = 37 birim Sonuç: Sinüs teoremi ile AB = 42 birim , AC = 37 birim bulunur. 4. Soru Soru: Sinüs teoremi her üçgen türü için geçerli midir? Cevap: Evet, sinüs teoremi her tür üçgende (dik, dar veya geniş açılı) geçerlidir. Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/10-sinif-matematik-ders-kitabi-sayfa-77-78-cevaplari-meb-yayinlari-13246h