25. Uygulama – Teorem İspatı (Kosinüs Teoremi) Sayfa 85–86 Cevapları
Soru 1:
Verilen eşitliğe ulaşabilmek için ne tür bir ek çizim yapılması gerektiğine dair fikirlerinizi paylaşınız.
Cevap:
ABC üçgeninde B köşesinden AC kenarına bir
dikme
indirilmelidir. Bu çizim, üçgeni iki dik üçgene ayırır ve Pisagor teoremi ile trigonometrik oranların kullanılmasına imkân sağlar.
Soru 2:
Pisagor teoremi ve trigonometrik oranlardan yararlanarak bu üçgende ne gibi eşitlikler yazılabilir?
Cevap:
B noktasından AC kenarına indirilen dikme ile üçgen iki dik üçgene ayrılır:
ABH üçgeninde:
c² = h² + x²
BHC üçgeninde:
a² = h² + (b−x)²
Ayrıca,
cos = x / c
olduğundan
x = c·cosÂ
eşitliği yazılabilir.
Soru 3:
1. Adım:
⟂ olacak şekilde B köşesinden dikme indiriniz.
a)
Üçgenin B köşesinden dikme indirilmesinin sebebini açıklayınız.
Cevap:
Kosinüs teoremi A açısına göre yapılacağı için, A açısının karşısındaki kenara bağlı bir dikme indirilmesi gerekir. Böylece A açısı dışında kalan kenarlar üzerinden işlem yapılabilir.
b)
Dikme herhangi bir köşeden indirilebilir mi?
Cevap:
Evet, dikme farklı köşelerden indirilebilir; ancak A açısı dışındaki bir köşeden dikme indirmek
ispatı güçleştirir
. Bu durumda cos oranı doğrudan elde edilemez.
Soru 4:
|BH| = h, |AH| = x şeklinde adlandırarak |HC| uzunluğunu b ve x türünden yazınız.
Cevap:
|HC| = b − x
Soru 5:
ABH dik üçgeninde h²’yi c ve x türünden elde ediniz.
Cevap:
c² = h² + x²
h² = c² − x²
Soru 6:
BHC dik üçgeninde h²’yi a, b ve x türünden elde ediniz.
Cevap:
a² = h² + (b−x)²
h² = a² − (b−x)²
Soru 7:
3. ve 4. adımlarda elde edilen eşitlikleri kullanarak a²’yi b, c ve x türünden bulunuz.
Cevap:
c² − x² = a² − (b−x)²
c² − x² = a² − (b² − 2bx + x²)
c² − x² = a² − b² + 2bx − x²
a² = b² + c² − 2bx
Soru 8:
AHB dik üçgeninde x’i c ve cos türünden bulunuz.
Cevap:
cos = x / c
x = c·cosÂ
Soru 9:
5 ve 6. adımlarda bulduklarınızı kullanarak a²’yi b, c ve cos türünden yazınız.
Cevap:
a² = b² + c² − 2b·(c·cosÂ)
a² = b² + c² − 2bc·cosÂ
Sonuç:
Kosinüs teoremi ispatlanmıştır.
Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/10-sinif-matematik-ders-kitabi-sayfa-85-86-cevaplari-meb-yayinlari-13251h
Sayfa Geçişleri
