18. Sıra Sizde – Üçgende Uzaklık Bulma (Sinüs Teoremi)
Soru a)
Piraye (P noktası) ile Begüm (B noktası) arasındaki yaklaşık uzaklığı bulunuz.
Verilenler:
m(BPN) = 65°, m(BNP) = 46°, PN = 744 m
sin46° = 0,72 sin65° = 0,91 sin69° = 0,93
Çözüm:
Üçgende
sinüs teoremi
uygulanır:
PB / sin46° = PN / sin69°
PB = 744 × (sin46° / sin69°)
PB = 744 × (0,72 / 0,93) ≈
576 m
Cevap:
Piraye ile Begüm arası uzaklık yaklaşık
576 metredir.
Soru b)
Nevra (N noktası) ile Begüm (B noktası) arasındaki yaklaşık uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
BN / sin65° = PN / sin69°
BN = 744 × (sin65° / sin69°)
BN = 744 × (0,91 / 0,93) ≈
728 m
Cevap:
Nevra ile Begüm arası uzaklık yaklaşık
728 metredir.
23. Uygulama – Sinüs Teoreminin Ayrıntılı İspatı
Soru 1:
Sinüs kavramından yararlanarak üçgende hangi eşitlikler kurulabilir?
Bir
ABC üçgeninde
, köşe açıları ile karşılarındaki kenarlar arasında trigonometrik bir ilişki vardır. Bu ilişkiyi gösterebilmek için üçgenin bir köşesinden yüksekliği indiririz.
A köşesinden BC kenarına indirilen yükseklik
hₐ
olsun.
Bu durumda: ➡️
hₐ = b·sinĈ = c·sin B̂
Bu yükseklik eşitliği, aynı üçgenin farklı kenar ve açıları kullanılarak da ifade edilebilir. Böylece üçgenin alanı için üç ayrı formül elde edilir:
A(ABC) = ½·b·c·sin = ½·a·c·sin B̂ = ½·a·b·sinĈ
Bu eşitlikler bize, üçgenin alanını hangi iki kenar ve aradaki açıyla hesaplarsak hesaplayalım, sonucun değişmeyeceğini gösterir. Bu özelliği kullanarak sinüs teoremini ispatlayabiliriz.
Soru 2:
Sinüs teoremini ispatlayınız.
I ve II numaralı ifadelerin eşitliği kullanılarak:
½·b·c·sin = ½·a·c·sin B̂
⟹
a / sin = b / sin B̂
eşitliği bulunur.
I ve III numaralı ifadelerin eşitliği kullanılarak:
½·b·c·sin = ½·a·b·sinĈ
⟹
a / sin = c / sinĈ
eşitliği bulunur.
Sonuç olarak:
a / sin = b / sin B̂ = c / sinĈ
eşitlikleri elde edilir.
Bu eşitlik, üçgende kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranının sabit olduğunu ifade eder ve bu ilişki
Sinüs Teoremi
olarak adlandırılır.
Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/10-sinif-matematik-ders-kitabi-sayfa-80-cevaplari-meb-yayinlari-1-13247h
Sayfa Geçişleri
