10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 15-16-17 Cevapları (MEB Yayınları)
Konu: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler
Soru 1:
Yandaki şekilde verilen direğin tabana olan uzaklığı (AC) ve halatın yere bağlantı noktası (D) ile direğin yüksekliği arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. Uzun halatın uzunluğunun direğin boyuna oranı ile kısa halatın uzunluğunun na oranı arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
Cevap 1:
Uzunluklar orantılandığında,
uzun halatın direğe oranı ile kısa halatın tabana oranı birbirine eşittir.
Bu durum, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranlarının sabit olduğunu gösterir.
Soru 2:
Bir mimarın çizdiği bina planındaki boyut ile binanın gerçek boyutu arasındaki oran, bir sanatçının çizdiği tasarımın boyutu ile o tasarımın gerçek boyutu arasındaki oran gibi örneklerle hangi matematiksel kavram açıklanmaktadır?
Cevap 2:
Bu kavram
benzerlik
tir. Benzerlik, iki şekil arasında orantılı uzunluk ilişkisi kurmayı sağlar.
1. Uygulama Etkinliği
Soru 3:
Bir dik üçgende dar açıların trigonometrik oranlarını bulmak için 3 grup çizim yapınız. Her grup aynı açıyı farklı üçgen çizerek ölçsün. Bu ölçümlerde elde edilen sinüs, kosinüs ve tanjant değerleri arasında nasıl bir ilişki vardır?
Cevap 3:
Her grup farklı üçgen çizmesine rağmen, aynı açı için bulunan
sinüs, kosinüs ve tanjant oranları eşittir.
Yani, benzer üçgenlerde aynı açılara karşılık gelen kenar oranları değişmez.
Soru 4:
Çizdiğiniz üçgenlerde dar açılar için elde edilen trigonometrik oranların sabit kalmasının sebebi nedir?
Cevap 4:
Çünkü
benzer üçgenlerde karşılıklı kenar uzunluklarının oranı sabittir.
Bu sabit oranlar trigonometri için temel oluşturur.
Sayfa 16 Cevapları
Konu:
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar –
sin = karşı/hipotenüs
,
cos = komşu/hipotenüs
Soru 3 – Tabloyu doldurma (grup çalışması ilkeleri)
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar – Basit Tablo
α açısı için:
sin α = karşı / hipotenüs = AB / AC
cos α = komşu / hipotenüs = BC / AC
tan α = karşı / komşu = AB / BC
cot α = komşu / karşı = BC / AB
Tabloya yerleşim:
Karşı / Hipotenüs → sin α
Komşu / Hipotenüs → cos α
Karşı / Komşu → tan α
Komşu / Karşı → cot α
Soru 4 – Sonuçları sınıfta sunma
“Grupların elde ettiği oranlar neyi gösteriyor?”
Cevap 4:
Benzer üçgenlerde aynı açıya karşılık gelen kenar oranları sabittir.
Bu yüzden farklı üçgenler çizsek de
aynı açı için sin ve cos değerleri değişmez.
Soru 5 – Açı–oran karşılaştırması
“Her üç grubun bulduğu oranları karşılaştırın.”
Cevap 5:
Aynı dar açı için elde edilen oranlar
eşit
çıkar; bu da trigonometrik oranların
açıya bağlı
,
uzunluğa bağlı olmadığını
kanıtlar.
Soru 6 – Genelleme yazınız
Cevap 6 (genelleme):
Karşılıklı bütün kenar uzunlukları orantılı olan (benzer) dik üçgenlerin, orantılı kenarlarını gören dar açıların ölçüleri ve trigonometrik oranları (sin, cos) birbirine eşittir.
Soru 7 – Aşağıdaki üçgenler için tabloları doldurunuz
a) Dar açıların sinüs ve kosinüs değerleri
ABC Üçgeni
(AB=3, AC=4, BC=5, ∠A=90°)
sin b = karşı/hipotenüs = AC/BC = 4/5
cos b = komşu/hipotenüs = AB/BC = 3/5
sin c = karşı/hipotenüs = AB/BC = 3/5
cos c = komşu/hipotenüs = AC/BC = 4/5
DEF Üçgeni
(DF=5, DE=12, EF=13, ∠D=90°)
sin e = karşı/hipotenüs = DF/EF = 5/13
cos e = komşu/hipotenüs = DE/EF = 12/13
sin f = karşı/hipotenüs = DE/EF = 12/13
cos f = komşu/hipotenüs = DF/EF = 5/13
KLN Üçgeni
(KL=8, KN=15, LN=17, ∠K=90°)
sin l = karşı/hipotenüs = KN/LN = 15/17
cos l = komşu/hipotenüs = KL/LN = 8/17
sin n = karşı/hipotenüs = KL/LN = 8/17
cos n = komşu/hipotenüs = KN/LN = 15/17
b) Yorum:
Üç örnekte de hipotenüs (5, 13, 17) sabit alınarak
sin = karşı/hip
,
cos = komşu/hip
kuralı ile sonuçlar bulunur; benzerlik nedeniyle
açı aynıysa oran aynıdır.
Sayfa 17 Cevapları
Konu:
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar – Tanjant ve Kotanjant
Soru b – Tablo 2’nin tamamlanması
Her dik üçgende tanjant ve kotanjant:
tan(α) = karşı dik kenar / komşu dik kenar
cot(α) = komşu dik kenar / karşı dik kenar
ABC Üçgeni
(AB=3, AC=4, BC=5, ∠A=90°)
tan b = karşı/komşu = AC/AB = 4/3
cot b = komşu/karşı = AB/AC = 3/4
tan c = karşı/komşu = AB/AC = 3/4
cot c = komşu/karşı = AC/AB = 4/3
DEF Üçgeni
(DF=5, DE=12, EF=13, ∠D=90°)
tan e = karşı/komşu = DF/DE = 5/12
cot e = komşu/karşı = DE/DF = 12/5
tan f = karşı/komşu = DE/DF = 12/5
cot f = komşu/karşı = DF/DE = 5/12
KLN Üçgeni
(KL=8, KN=15, LN=17, ∠K=90°)
tan l = karşı/komşu = KN/KL = 15/8
cot l = komşu/karşı = KL/KN = 8/15
tan n = karşı/komşu = KL/KN = 8/15
cot n = komşu/karşı = KN/KL = 15/8
Soru 8 – Genelleme
“Bir dik üçgende bir dar açıya göre kenar uzunluklarının oranı nedir?”
Cevap:
Bir dik üçgenin tüm kenar uzunlukları aynı oranda değişirse, üçgenin açı ölçüleri değişmez.
➡ Yani tanjant ve kotanjant değerleri
açıya bağlıdır, uzunluklara bağlı değildir.
Soru 9 – Problem Çözümü
Spor merkezinde dik üçgen şeklinde iki adet toplanma alanı yapılıyor.
Birincisinin kenarları: 3 m ve 6 m (dik kenarlar)
İkincisinin dik kenarlarından biri: 8 m
Diğer dik kenarı = x m
İki üçgenin dar açılarından biri
eşit verilmiş
olduğuna göre üçgenler
benzer üçgendir.
Orantı kuralı: 3 ↔ 8, 6 ↔ x
3/8 = 6/x
3x = 48
x =
16
Cevap:
İkinci toplanma alanının diğer dik kenarı
16 metredir.
Kaynak: https://www.egitim.net.tr/soru-cevap/10-sinif-matematik-ders-kitabi-sayfa-15-17-cevaplari-meb-yayinlari-12405h
Sayfa Geçişleri
